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スカラーとベクトルとテンソル

物理量で、温度や密度などは物質の向きに関係しておらず、a軸方向の温度だとか、ある特別な方向の密度というのは意味がありません。このような向きを考慮しない物理量をスカラー(scalar)といい、一つの数値で表せます。スカラーは0階(zero rank)のテンソル(tensor)とも呼ばれます。

 

スカラーに対して異なるタイプの物理量をベクトル(vector)といいます。ベクトルはスカラーと異なり物質の向きを常に気にします。例えば、力を物質に加える際には、どの向きにどのくらいの大きさでという、方向と大きさの情報が必要になってきます。他には、物質中のある点での電場(電界強度)、双極子モーメントやある点での温度勾配などがベクトルとして挙げられます。 ベクトル を記号(変数)で表すときには \boldsymbol E のように太字で表します。 ノートに書く場合には、 \mathbb E のように二重線文字にしたり、 \vec{E} のように記号の上に矢印を書いたりします。 ベクトル には方向と大きさが必要ですので、表現するのに2種類の数値が必要です。 2種類の数値を方向と大きさとして表現する場合(方位・仰俯角と距離)もありますが、通常は、大きさを向きが分かるように空間成分に分けて表現します。まず、直交する3つの軸を決めて、それらを x_1 軸、x_2 軸、x_3 軸( X 軸、Y 軸、Z 軸などでも良い)とします。これらの軸に沿うベクトルの成分を決めるのです。成分は単にベクトルのこれらの軸への射影です。 x_1 軸方向の成分が a_1x_2 軸方向の成分が a_2x_3 軸方向の成分が a_3 だとすると、その大きさは \sqrt{a_1^2+b_2^2+a_3^2} で与えられます。方向は、原点と原点から x_1 軸方向に a_1 進んで、続いて x_2 軸方向 に a_2 進み、x_3軸方向 に a_3 進んだ地点とを結ぶ直線の方向です。電場 \boldsymbol Ex_i 軸方向成分が E_ix_1 軸方向成分がE_1x_2 軸方向成分がE_2x_3 軸方向成分が E_3)のとき、ベクトル \boldsymbol E は、

    \[{\boldsymbol E} = E_i = \left( \begin{array}{c} E_1 \\ E_2 \\ E_3 \\ \end{array} \right)\]

と書かれます。 ベクトル は その成分を表す添字が1つであり、1階(1st rank)のテンソルとも呼ばれます。

 

ベクトルの考え方を拡張したものがテンソルです。例えば、電圧 V を電気伝導体材料に印加して電流 I が流れたとします。このとき材料の電気抵抗を R とすると、

    \[I = \frac{1}{R} V\]

です。つまり、オームの法則(ohm’s law)です。 ここで、 電圧がどの向きに印加されて、電流がどの向きに流れたのかも意識して書くことにします。加えて、材料のサイズによらずに式を書くために、電圧を電場 \boldsymbol E に、電流を電流密度 \boldsymbol j と書くことにします。そうすると、オームの法則は、

    \[{ \boldsymbol j } = \sigma { \boldsymbol E }\]

と書くことができます。 ここで、\sigma は電気伝導率を表します。 各成分について書きなおせば、

    \[j_1 = \sigma E_1, \ \ j_2 = \sigma E_2, \ \ j_3 = \sigma E_3\]

と電流密度の成分は電場の相当する成分に比例しますので、電流は電場と同じ向きに流れます。さらに、材料のどの方向に電場を加えても流れる電流密度は一緒です。しかし、材料に異方性がある場合、電場を印加する方向によって流れる電流密度が異なります。この場合に上式は、

    \begin{eqnarray*}j_1 &=& \sigma_{11} E_1 + \sigma_{12} E_2 + \sigma_{13} E_3 \\j_2 &=& \sigma_{21} E_1 + \sigma_{22} E_2 + \sigma_{23} E_3 \\j_3 &=& \sigma_{31} E_1 + \sigma_{32} E_2 + \sigma_{33} E_3 \\\end{eqnarray*}

と書けます。 ここで、\sigma_{ij} は電気伝導率の成分を表します。電流密度の成分は電場の全ての成分と関連していることになり、一般的に電流は電場と同じ向きには流れません。 例えば、電場を x_1 軸方向 に印加した(E_1 \ne 0, E_2 = E_3 = 0)とき、電流密度 \boldsymbol j は、

    \[j_1 = \sigma_{11} E_1, \ \ j_2 = \sigma_{21} E_1 \ \ j_3 = \sigma_{31} E_1\]

となります。x_1 軸方向に電流 j_1 が流れるほかに、\sigma_{21}\sigma_{31} のために、x_2 軸方向 や x_3 軸方向にも電流が流れることを意味します。

 

異方性のある材料の電気伝導率を表現するために、 電気伝導率を

    \[\sigma_{ij} = \left( \begin{array}{ccc}\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \\ \end{array} \right)\]

と書くことにします。 これを2階(2nd rank)のテンソルといいます。 電気伝導率のテンソル はその成分を表すのに添え字が2つ必要で、 テンソルの表現はその成分を \sigma_{ij} と書く時の i を行、j を列にした行列です。等方性の材料の 電気伝導率のテンソルの表現では 、

    \[\left( \begin{array}{ccc}\sigma & 0 & 0 \\0 & \sigma & 0 \\ 0 & 0 & \sigma \\ \end{array} \right) \]

と書かれます。