複素誘電率

誘電率 $\varepsilon$ は、物質に電場 $E$ を印加した時にどのくらい分極 $P$ するかを表す量ですが、電束密度 $D$ との関係で、

$D = \varepsilon E = \varepsilon_0 \varepsilon_{\rm r} E = \varepsilon_0 ( 1 + \chi ) E = \varepsilon_0 E + P$

の関係にあります。

ここで、 $\chi$ は電気感受率で、

$\varepsilon_0 \chi E = P$

ですから、これが物質に電場を印加した時に分極する量そのものであります。

$\chi +1 = \varepsilon_{\rm r}$

の関係で、比誘電率 $\varepsilon_{\rm r}$ と結びつけられます。結局、繰り返しになってしまうのですが、誘電率 $\varepsilon$ とは、物質に印加される電場 $E$ と物質表面に現れる電束密度 $D$ を結びつける比例定数です。このままの定義で何の支障もないので、多くの場合ここで「めでたしめでたし」で終わるわけですが、印加する電場の大きさが時間的に変動する場合には、ちょっと厄介なことが起こります。

物質に電場を印加すると分極が生じます。分極の起源には様々なものがありますが、いずれにしても、物質に電場が印加されて分極が現れて安定状態になるまでには時間がかかるのです。式の上では、電場 $E$ に対して分極 $P$ の応答が遅れます。分極 $P$ が遅れるってことは、電束密度 $D$ も遅れます。いまは誘電率 $\varepsilon$ を気にしたいので、電場 $E$ と電束密度 $D$ の時間的ずれだけに着目します。簡単のため、電場を $E=E_0 {\rm exp}(i \omega t)$ 、電束密度を $D=D_0 {\rm exp}(i (\omega t - \delta))$ として、電束密度が $\delta$ だけ電場よりも遅れるとします。電束密度の式を変形して電場で表せるようにすると、

(1) $\begin{eqnarray*} D & = & D_0 {\rm exp}(i(\omega t - \delta)) \\ & = & D_0 {\rm exp}(i\omega t){\rm exp}(-i\delta) \\ & = & D_0 ({\rm exp}(i \omega t) {\rm cos}\delta - i {\rm exp}(i \omega t) {\rm sin}\delta) \\ & = & \frac{D_0}{E_0} ({\rm cos}\delta - i {\rm sin}\delta ) E_0 {\rm exp}(i \omega t) \\ & = & \frac{D_0}{E_0} ({\rm cos}\delta - i {\rm sin}\delta ) E \end{eqnarray*}$

となります。それで、電場 $E$ にかかる係数が誘電率なので、

$\varepsilon^* = \frac{D_0}{E_0} ({\rm cos}\delta - i {\rm sin}\delta )$

として、複素誘電率 $\varepsilon^*$ を定義します。このとき、

$\varepsilon^* = \varepsilon' - i \varepsilon ''$

とおいて、複素誘電率の実数部 $\varepsilon'$ と虚数部 $\varepsilon ''$ を定義します。虚数部を実数部で割った値は、

$\frac{\varepsilon ''}{\varepsilon'}=\frac{{\rm sin}\delta}{{\rm cos}\delta}={\rm tan}\delta$

となり、遅れ $\delta$ を表します。この値 $\delta$ を損失角といい、 ${\rm tan}\delta$ は誘電損失あるいはタンデルと呼ばれます。

この遅れによって、どれだけの電気エネルギーが使われるのかを計算します。単位体積当たりの電力 $p$ を１周期分積分して周期 $T$ で割ります。単位体積当たりの電力 $p$ は電流密度 $j$ と電場 $E$ の積であり、電流は電荷の時間微分なので、電束密度　 $D$ の時間微分は電流密度 $j$ に相当します。

(2) $\begin{eqnarray*}U & = & \frac{1}{T} \int_0^T p {\rm d}t \\ & = & \frac{1}{T} \int_0^T jE {\rm d}t \\ & = & \frac{1}{T} \int_0^T \frac{ {\rm d} D}{ {\rm d} t}E {\rm d}t \\ & = & \frac{1}{T} \int_0^T E\frac{ {\rm d} D}{ {\rm d} t} {\rm d}t \end{eqnarray*}$

ここで、電場 $E=E_0 {\rm cos}(\omega t)$ 、電束密度 $D=D_0 {\rm cos}(\omega t - \delta)$ を代入すると、

(3) $\begin{eqnarray*}U & = & \frac{1}{T} \int_0^T E_0 {\rm cos}(\omega t) \frac{ {\rm d} D_0 {\rm cos}(\omega t - \delta)}{{\rm d} t} {\rm d}t \\ & = & - \frac{\omega E_0 D_0}{T} \int_0^T {\rm cos}(\omega t){\rm sin}(\omega t - \delta) {\rm d}t \\ & = & - \frac{\omega E_0 D_0}{T} \int_0^T {\rm cos}(\omega t)({\rm sin}(\omega t) {\rm cos}(\delta)- {\rm cos}(\omega t) {\rm sin}(\delta)) {\rm d}t \\ & = & - \frac{\omega E_0 D_0}{2T} \int_0^T({\rm sin}(2 \omega t){\rm cos}(\delta) - (1+{\rm cos}(2 \omega t)){\rm sin}(\delta)) {\rm d}t \\ & = & \frac{\omega E_0 D_0}{2} {\rm sin}(\delta) \\ & = & \frac{\omega E_0^2}{2}\varepsilon'' \end{eqnarray*}$