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スカラーとベクトルとテンソル

2件のコメント

物理量で、温度や密度などは物質の向きに関係しておらず、a軸方向の温度だとか、ある特別な方向の密度というのは意味がありません。このような向きを考慮しない物理量をスカラー（scalar）といい、一つの数値で表せます。スカラーは0階（zero rank）のテンソル（tensor）とも呼ばれます。

 

スカラーに対して異なるタイプの物理量をベクトル（vector）といいます。ベクトルはスカラーと異なり物質の向きを常に気にします。例えば、力を物質に加える際には、どの向きにどのくらいの大きさでという、方向と大きさの情報が必要になってきます。他には、物質中のある点での電場(電界強度)、双極子モーメントやある点での温度勾配などがベクトルとして挙げられます。 ベクトル を記号(変数)で表すときには \boldsymbol E のように太字で表します。 ノートに書く場合には、 \mathbb E のように二重線文字にしたり、 \vec{E} のように記号の上に矢印を書いたりします。 ベクトル には方向と大きさが必要ですので、表現するのに２種類の数値が必要です。 ２種類の数値を方向と大きさとして表現する場合（方位・仰俯角と距離）もありますが、通常は、大きさを向きが分かるように空間成分に分けて表現します。まず、直交する３つの軸を決めて、それらを x_1 軸、x_2 軸、x_3 軸（ X 軸、Y 軸、Z 軸などでも良い）とします。これらの軸に沿うベクトルの成分を決めるのです。成分は単にベクトルのこれらの軸への射影です。 x_1 軸方向の成分が a_1、x_2 軸方向の成分が a_2、x_3 軸方向の成分が a_3 だとすると、その大きさは \sqrt{a_1^2+b_2^2+a_3^2} で与えられます。方向は、原点と原点から x_1 軸方向に a_1 進んで、続いて x_2 軸方向 に a_2 進み、x_3軸方向 に a_3 進んだ地点とを結ぶ直線の方向です。電場 \boldsymbol E の x_i 軸方向成分が E_i （x_1 軸方向成分がE_1、x_2 軸方向成分がE_2、x_3 軸方向成分が E_3）のとき、ベクトル \boldsymbol E は、

    \[{\boldsymbol E} = E_i = \left( \begin{array}{c} E_1 \\ E_2 \\ E_3 \\ \end{array} \right)\]

と書かれます。 ベクトル は その成分を表す添字が１つであり、1階（1st rank）のテンソルとも呼ばれます。

 

ベクトルの考え方を拡張したものがテンソルです。例えば、電圧 V を電気伝導体材料に印加して電流 I が流れたとします。このとき材料の電気抵抗を R とすると、

    \[I = \frac{1}{R} V\]

です。つまり、オームの法則（ohm’s law）です。 ここで、 電圧がどの向きに印加されて、電流がどの向きに流れたのかも意識して書くことにします。加えて、材料のサイズによらずに式を書くために、電圧を電場 \boldsymbol E に、電流を電流密度 \boldsymbol j と書くことにします。そうすると、オームの法則は、

    \[{ \boldsymbol j } = \sigma { \boldsymbol E }\]

と書くことができます。 ここで、\sigma は電気伝導率を表します。 各成分について書きなおせば、

    \[j_1 = \sigma E_1, \ \ j_2 = \sigma E_2, \ \ j_3 = \sigma E_3\]

と電流密度の成分は電場の相当する成分に比例しますので、電流は電場と同じ向きに流れます。さらに、材料のどの方向に電場を加えても流れる電流密度は一緒です。しかし、材料に異方性がある場合、電場を印加する方向によって流れる電流密度が異なります。この場合に上式は、

    \begin{eqnarray*}j_1 &=& \sigma_{11} E_1 + \sigma_{12} E_2 + \sigma_{13} E_3 \\j_2 &=& \sigma_{21} E_1 + \sigma_{22} E_2 + \sigma_{23} E_3 \\j_3 &=& \sigma_{31} E_1 + \sigma_{32} E_2 + \sigma_{33} E_3 \\\end{eqnarray*}

と書けます。 ここで、\sigma_{ij} は電気伝導率の成分を表します。電流密度の成分は電場の全ての成分と関連していることになり、一般的に電流は電場と同じ向きには流れません。 例えば、電場を x_1 軸方向 に印加した（E_1 \ne 0, E_2 = E_3 = 0）とき、電流密度 \boldsymbol j は、

    \[j_1 = \sigma_{11} E_1, \ \ j_2 = \sigma_{21} E_1 \ \ j_3 = \sigma_{31} E_1\]

となります。x_1 軸方向に電流 j_1 が流れるほかに、\sigma_{21} や \sigma_{31} のために、x_2 軸方向 や x_3 軸方向にも電流が流れることを意味します。

 

異方性のある材料の電気伝導率を表現するために、 電気伝導率を

    \[\sigma_{ij} = \left( \begin{array}{ccc}\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \\ \end{array} \right)\]

と書くことにします。 これを２階（2nd rank）のテンソルといいます。 電気伝導率のテンソル はその成分を表すのに添え字が２つ必要で、 テンソルの表現はその成分を \sigma_{ij} と書く時の i を行、j を列にした行列です。等方性の材料の 電気伝導率のテンソルの表現では 、

    \[\left( \begin{array}{ccc}\sigma & 0 & 0 \\0 & \sigma & 0 \\ 0 & 0 & \sigma \\ \end{array} \right) \]

と書かれます。

「スカラーとベクトルとテンソル」への2件のフィードバック

    1. It’s hard to answer the question. …uum

      Temperature is a quantity that presents the internal energy of an object. The internal energy is the presentation of the averaged kinetic energy of elemental particles composing the object.
      Although the kinetic energy itself depends on the velocity of particles, which is a vector quantity having speed and direction, orientation information is lost because the target is the averaged value of many particles.
      That is the reason why temperature is a scalar quantity.

      Density is a quantity that represents the mass per unit volume of an object. Is it okay for volume and mass to have no direction?
      Volume can be calculated from the multiplication of a height, a width, and a depth. Each length has a magnitude and a direction. Since the only lengths are used for the multiplication, the information of directions is lost.
      Volume represents a magnitude of occupied space but has no information about shape and orientation of the occupied.
      Mass is also a scalar quantity because its magnitude does not usually change depending on the direction.
      That is the reason why density is a scalar quantity.

      The reason of “usually” is because, for example, the effective mass of an electron in a crystal may vary depending on the direction and speed of its motion, so it may be expressed as a tensor quantity rather than a scalar quantity.

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